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quinta-feira, 14 de setembro de 2017

Problemas Básicos de Matemática!

Sabemos que muitos concurseiros e certos estudantes apenas memorizam algumas fórmulas prontas e engessadas com a finalidade de solucionar determinadas questões dessa disciplina que não são devidamente entendidas e que por isso geram dificuldades de entendimento. Eles se esquecem de que é necessário, não só decorar, mas também entender os conteúdos estudados para se chegar a uma resposta correta, sem mágicas e decorebas, apenas usando os dados dos problemas propostos. Assim, resolvemos atender o pedido de muitos estudantes que são nossos leitores e propor algumas questões básicas com respostas, para que possam visualizar e aprender uma nova forma de resolver determinadas questões que costumam ser cobranças em concursos e exames seletivos sem a necessidade de decorar aquelas fórmulas mirabolantes e complexas encontradas em apostilas e alguns livros menos rígidos. Um exemplo de problema que poderíamos propor ao leitor é o que envolve frações, como o que está sendo proposto na figura ao lado e que o leitor pode conferir como resolver de uma forma alternativa, logo abaixo.

Esse artigo também é dirigido para nossos leitores e concurseiros que desejam testar e avaliar seus conhecimentos básicos, para ajudá-los em sua preparação para provas em concursos e exames seletivos em nível médio de conhecimentos matemáticos.

1. Um Problema e o Método das Operações Inversas!






Zezinho era um aluno muito esperto e dominava os conceitos da matemática como ninguém. Então ele propôs ao pai, a mãe e ao seu avô nessa ordem o seguinte:
- Pai, se o senhor dobrar a quantia que tenho no bolso, lhe darei 20 reais. Satisfeito com o pedido e cumprida a promessa, ele dirigiu-se a sua mãe, com o mesmo pedido e com a mesma condição. Atendido, deu a ela o valor prometido. Por fim, fez igual pedido a seu avô. Também atendido, deu 20 reais e ficou com saldo em reais zerado. Quanto Zezinho possuía antes de fazer seu primeiro pedido?

Solução pelo método das operações inversas na aritmética: 
Existe muitas formas de resolver, mas talvez a forma mais simples e fácil de entendermos é utilizarmos o método das operações inversas.
Partimos do final em que ele estaria zerado para o início: Antes de dar 20 ao avô, Zezinho tinha 0 + 20 = 20. Mas o avô dobrou. Logo, ele tinha antes 20/2 = 10, quantia essa que veio de sua mãe. Antes de dar 20 a esta, tinha, pois, 10 + 20 = 30. Ela também dobrou. Logo, antes ele possuía 30/2 = 15, importância com que veio do pai. Se deu 20 a este, antes tinha 15 + 20 = 35. Mas antes, o pai dobrou. Logo, Zezinho tinha 35/2 =17,50, que era a quantia que tinha antes do primeiro pedido. 


2. Questão de Juros simples ou de Falsa-posição!
Que montante podemos realizar com um capital inicial de R$ 4.650,00, colocado aos juros de 12% ao ano, no prazo de 4 anos e 6 meses? 

Solução usual:
Mediante aplicação da fórmula de montante, tem-se: M = 4.650 + (4.650 x 12 x 54)/1.200 = 4.650 + 2.511 = 7.161,00

Solução por falsa-posição:
Método baseado em suposições. Podemos encontrá-la nos velhos manuais de Aritmética. Pode ser utilizada para solucionar questões que guardam proporcionalidade. 

Capital falso: 100 (pode ser outro número);

Juros falsos: 4 x 12 + 6 + = 54; 
Montante falso: 154;

Arma-se então uma proporção: capital falso está para capital verdadeiro, assim como: montante falso está montante verdadeiro. 
Dessa forma podemos escrever: 100/4.650 = 154/x, donde x = (154 x 4.650)/100 = 7.161,00  (Confere com a mesma resposta, sem o uso da fórmula)

3. Uma questão de matemática financeira usando juros compostos!
Um cliente de uma instituição financeira aplicou o valor de R$ 4.200,00, utilizando juros compostos de 10% capitalizados anualmente, por um período de 5 anos. Nessas condições, qual será o valor dos juros que ele vai receber ao final desse tempo?

Existe algumas formas de solucionar, mas vamos dar as duas mais simples que podemos avaliar.
Solução usando a fórmula dos juros compostos:
Tem-se: Montante = 4.200 x (1 + 0,10)^5 = 4.200 x 1,6105 = 6.764,14; Assim, basta fazer a diferença entre o montante e o capital inicial que teremos o valor dos juros compostos = 6.764,14 – 4.200 = 2.564,14.

Solução por falsa-posição:
Supondo que nosso capital inicial seja de 100 (capital falso). Montante falso: 100 x 1,10^5 = 161,051; Então os juros falsos seriam = 161,051 – 100 = 61,051.
Em seguida construímos uma proporção da seguinte forma: capital falso está para capital verdadeiro, assim como juros falsos estão para juros verdadeiros (x). Temos então que:
100/4.200 = 61,051/x, donde vem que x = (4.200 x 61,051)/100 = 2.564,14 (valor que confere com o resposta acima, porém obtida sem uso de nenhuma fórmula de juros compostos).

4. Questões usando um número falso!

A regra de falsa posição é um processo aritmético em que por meio de um número suposto (falso) podemos encontrar o número correto e requerido nas questões. É uma curiosa aplicação da regra de três que o leitor possivelmente já aprendeu e domina. No entanto temos em nosso blog um artigo que ensina completamente esse tema que o leitor pode recorrer. 
Vamos a uma questão tipica para entender o que pretendemos:
Qual o número de maças que uma pessoa possuía, se ela tivesse tantas outras como as que tem, mais a metade e a quarta parte delas, e assim teria juntado a quantia 88?

Solução pelo número falso:
Vamos usar o número falso 12.
Assim: 
número falso = 12
outro tanto   = 12
+ a metade  =   6
+ a 4ª parte =   3
Total faso     = 33

Usamos agora os dois números: 12 e 33, assim como totais verdadeiros e falsos: 88 e 33, para descobrir os valores corretos!
A proporção será:
33 (total falso) ....... 88 (total verdadeiro)
12 (número falso) .... x (número procurado)
Logo, podemos escrever 33x = 12.88 ou seja: 33x = 1056 → x = 32
Provando: 32 + 32 + 16 + 8 = 88 

5. Problema com os ovos!
Se uma galinha tivesse posto mais a metade e um terço dos ovos que já pôs, poderia juntar 33 ovos. Quantos ovos ela já botou?
Solução pelo número falso:
Número falso: 6
+ a metade :  3
+ um terço  :  2
Total falso:   11

Assim, montamos a regra:
11 ....... 33
6  .......   x
Ou seja: 11x = 6.33 → 11x = 198 → x = 18
Provando: 18 + 9 + 6 = 33

Conclusão!
Chegamos ao final de mais um artigo educativo que pretende levar o conhecimento matemático de uma forma mais simples e descomplicada, para que o professor, assim como pelos muitos estudantes que acompanham nosso trabalho aqui nesse humilde site possam avaliar e ter uma forma alternativa para resolver certos problemas e que talvez seja de mais fácil entendimento. Claro que devemos sempre explicar usando também os conceitos da aritmética e ensinando as fórmulas que podem facilitar e agilizar as soluções das questões desse campo do conhecimento. No entanto, sabemos que certos alunos aprendem de forma e em tempos diferentes e esse texto vai nesse sentido, ou seja propor outras maneiras alternativas e diferentes para ensinar e aprender matemática.

Espero que tenham gostado do texto e que o compartilhe com todos amigos e pares, para que o conhecimento chegue a todos que necessitem desse aprendizado. Para isso, sugerimos que use os atalhos para as redes sociais que estão presentes ao final do post ou que indique nosso endereço aos mesmos.
Se ficou alguma dúvida, deixe seu comentário no espaço para essa finalidade que teremos o maior prazer em elucidar sempre no menor prazo possível. 

Finalizando, agrademos a todos pela visita e apoio. Muito obrigado!
A Matemática Aqui é Simples e Descomplicada!




quinta-feira, 7 de setembro de 2017

Considerações Sobre o Infinito!

As Discussões, Considerações e Curiosidades Interessantes Sobre o Infinito!
infinito sempre foi um tema muito discutido ao longo dos anos e faz parte integrante da história da matemática. Por ele ser um assunto de difícil entendimento, controverso, polêmico, sabe-se que ele teria sido estudado exaustivamente e que inclusive, teria em consequência até afetado a mente de alguns pesquisadores mais entusiasmados. Sabemos que muitos pesquisadores e matemáticos se debruçaram sobre esse interessante fato, e que na ânsia de obter uma resposta satisfatória para seu entendimento ficaram até doentes, entediados e alguns outros teriam inclusive ficado perturbados mentalmente. sua aceitação como objeto de estudo na Matemática não foi nada pacífico, sendo ainda um assunto muito recorrente, apesar da longa história em que este conceito foi e ainda está sendo debatido. 
Pode-se fazer uma pequena descrição das ideias relacionadas a este tema desde a Grécia antiga até ao período da Idade Média, ressaltando os grandes avanços conquistados nos séculos após o Renascimento, devido à riqueza de descobertas que ocorreram sobre suas principais características e verdades. Muitos afirmam que só no século XIX é que o renomado matemático Cantor mostrou ao mundo, relativamente tamanho dos conjuntos, afirmando que há infinitos chamados iguais diferentes. A descoberta dessa teoria que estuda os conjuntos revolucionou a forma de visualizar essa questão estudada pela Matemática. Apesar de toda esta revolucionária e controversteoria ainda estar em estudos e que pode ser evidentemente alterada, aos poucos foram-se descobrindo algumas contradições inerentes, mas vários dos seus problemas foram posteriormente solucionados. Alguns de seus paradoxos ainda continuam sem solução e merecem maiores estudos, pesquisas e por isso, pode ser um ótimo tema para trabalhos e pesquisas científicas. Mas, finalmente, como devemos enxergar e definir o infinito?






De um modo bem simples, podemos admitir que é tudo que não tem começo nem fim: ou seja algo intocável e desconhecido. Assim, pode-se afirmar que o infinito engloba tudo que é desconhecido. 
O infinito sempre causou muita polêmica entre os estudantes e até mesmo entre os professores e pesquisadores que o estudam porque é um assunto de difícil assimilação e de entendimento divergente. Ele já foi tratado por muitos pesquisadores e cientistas, causando divergências de entendimento. Muitos acham que ele não existe, e que tudo inclusive nosso universo é finito, ou seja teve um começo e um final. Se isso é verdade não sabemos pois é muito difícil aceitar e provar essa teoria relatada. No entanto, alguns dos maiores cientistas e matemáticos o defendem como veremos logo a seguir.

Um dos maiores matemáticos de todos os tempos  conhecido por Hilbert discutiu as várias formas do infinito: o denso, o ilimitado e o infinitamente pequeno. Segundo esse competente pesquisador e matemático, existe uma diferença entre o Infinito Potencial e o Infinito Atual. Ele nos diz em seus estudos que dado um natural n, devemos admitir que existe um natural m que o supera em grandeza, ou seja, m é um natural tal que m > n. Estamos portanto admitindo aqui que os naturais constituem uma totalidade ilimitada. No entanto, formulando propriedades de uma totalidade infinita estaremos considerando um objeto “infinito” como sendo um objeto matemático. Estamos admitindo assim o uso do infinito atual. 

Outro exemplo que poderíamos considerar para explicar o infinito é admitir um círculo máximo numa esfera e percorrê-lo indefinidamente. Evidentemente podemos fazer isto o número de vezes que quisermos. Neste sentido, o circulo é um caminho ilimitado sem ser no entanto de valor infinito. Mas o uso sistemático do infinito atualmente na Matemática provoca reações de várias origens. Sua consideração mais freqüente e sua importância deveram-se ao desenvolvimento da teoria dos conjuntos. A concepção de real como uma sequência genérica de racionais, sem se ter noção de sua construção, não foi aceita por Brouwer, que liderou um pensamento filosófico da Matemática denominado intuicionismo. Às suas críticas somavam-se as de Poincaré e de Kronecker, dentre outras. Entretanto, sabemos que trata-se de um tema que gera muitas discussões entre os que o defendem e aqueles que evidentemente discordam por achar que o infinito não existe de fato. E você, o que pensa sobre isso? Deixe sua opinião em forma de uma comentário que teremos o maior prazer em publicar e expor.

Deixamos um relato muito oportuno que trata da ciência e religiosidade entre o real e o imaginário sobre esse tema que vale a pena o leitor refletir:
Diz Galileu em uma de suas afirmações mais eloquentes sobre o infinito, fazendo uma relação ao espaço: 

Afirma ele que o espaço é infinito, pela razão de ser impossível imaginar-se-lhe um limite qualquer, e porque, apesar da dificuldade com que topamos para conceber o infinito, mais fácil nos é avançar eternamente pelo espaço, em pensamento, do que parar num ponto qualquer, depois do qual não mais encontrássemos extensão a percorrer.

O infinito, seria uma obra sagrada de Deus?
Será que podemos afirmar que Deus é o criador do infinito? Se o grande criador de tudo que conhecemos está em toda parte, será que ele teria criado também o infinito. Na verdade essa é uma conclusão e uma definição incompleta e insuficiente para definir o que está acima da linguagem dos homens. Veja quão polêmica é essa tentativa de explicação que muitos defendem enquanto muitas outras pessoas questionam e discordam. Assim admitindo que o Espaço é infinito e Deus está em toda parte, podemos compreender que nosso Deus e criador não é o próprio Infinito, pois a palavra “Infinito” revela apenas uma das qualidades desse ser supremo. À medida que vamos evoluindo moralmente, também podemos melhor compreender esse grande arquiteto chamado por Deus, Jeova, Buda, Messias, ou qualquer outro ser criador e superior de acordo com as convicções e dogmas religiosos. Veja que muitas religiões nos leva a acreditar e entender O Deus Infinito, ou seja, sem quaisquer limites, um Deus que está em toda parte, presente e atuante em todo o Universo. Achamos que tentar explicar cientificamente o infinito recorrendo-se a religiosidade é uma grande utopia, pois esses conhecimentos ensinados e aceitos no calor das crenças religiosas devem ser considerados simplesmente usando nossa fé, sem termos a necessidade de maiores provações e questionamentos. 

Nossa Opinião!

Em nossa humilde visão nunca chegaremos a uma conclusão exata do que seja o infinito, visto que ele apenas significa algo ou um valor simbólico que continua se expandindo indefinidamente. Assim, quando consideramos um conjunto numérico como o dos números reais, por exemplo, sempre haverá um número posterior maior ou menor que o anterior, apesar de que este seja o maior ou o menor que podemos escrever, assim como duas retas paralelas não se encontram, entre outros fatos inimagináveis. No entanto, essas questões que tratam desse tema sempre foram exaustivamente debatidas e já incomodou e aguçou a curiosidade de matemáticos, físicos e muitos outros pesquisadores e que já levou muitos deles à loucura. Certamente que ele é de valor fundamental para entender o mundo em que vivemos e que talvez ele continue sem explicações concisas para nos fazer entender da tamanha pequenez que somos perante o universo em que vivemos. No entanto, vemos com apreensão a ousadia de pseudo líderes mundiais que acham e desafiam acintosamente a vida por se acharem grandes deuses que podem lamentavelmente destruir a todos pela arrogância e ignorância em que estão inseridos usando de uma força bélica desproporcional e perigosa.

Ainda mais, entendemos que o infinito não é simplesmente um número que visualizamos de tamanho inatingível, mas algo grandioso e de um valor supremo que não podemos atingir de forma alguma e sim apenas podemos imaginar. Quando esses governantes endeusados perceberem que podem apenas destruir a si próprios, assim como a toda humanidade, talvez eles repensem suas ações e atitudes equivocadas.

Quando relacionamos o infinito com a religião, surge em nossa mente um importante questionamento e uma afirmação que nos diz que "Deus é infinito" e que ele está em toda a parte. Assim caso ele esteja em toda parte certamente ele estará presente em todo o universo. Mas, admitindo que o universo seja de tamanho infinito, concluímos que Deus é infinito. Deixamos claro que são apenas reflexões religiosas, de fé, que não se prova e sim que podemos apenas admitir que esteja certo, mas que muitos discordam e questionam veementemente. Espero que esse texto possa ser compartilhado e que de alguma forma chegue a esses líderes para rever suas atitudes e quem sabe mudar e entender isso que acabamos de expor nesse simples artigo educativo.

Espero que tenham gostado do artigo e que compartilhe com todos seus amigos e pares. Para isso, sugerimos que use os atalhos para as redes sociais cujos links estão presentes ao final do texto ou que indique nosso endereço aos mesmos.

Aproveite também esse espaço para expor sua opinião e para tirar eventuais dúvidas, deixando um recado ou comentário ao final do texto que teremos o maior prazer em responder e elucidar, claro se estiver ao nosso alcance.

Finalizando, agradecemos a todos pela visita e apoio. Muito obrigado!
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