Números Complexos

No início dos estudos pelos antigos pesquisadores e matemáticos, os números complexos não eram vistos como números, mas sim, como um artifício algébrico útil para se resolver equações que continham raiz de índices pares de números negativos. Após muitos estudiosos antigos terem efetuados diversas pesquisas e estudos a seu respeito, foi que Descartes, no século XVII, deu muito destaque a este conjunto de números e os chamou de números imaginários.

Antes de estudarmos o Conjunto dos Números Complexos, devemos conhecer e também estudar os conjuntos numéricos, conforme a sequência abaixo:

Conjunto dos naturais
Conjunto dos inteiros
Conjunto dos racionais
Conjunto dos irracionais
Conjunto dos reais


Evolução dos conjuntos numéricos!!

Iniciamos o estudo dos conjuntos numéricos, pelo conjunto dos números naturais representado pela letra N maiúscula.  Ele surgiu da necessidade dos povos antigos de contarem registrando de forma precária em paus, pedras e outros objetos, os seus pertences, como animais, vestes, produtos etc.

Os números que pertencem a esse conjunto são:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}. 

Sabemos que as operações se tornaram complicadas e sem solução, pois como podemos retirar uma quantidade maior de outra menor se ainda não tínhamos os números negativos?  Então, surgiram os números inteiros representados pela letra Z maiúscula.

Os números que pertencem a esse conjunto são:

Z = {... , -3,-2,-1,0,1,2,3, ... } 

Novamente, as operações se complicaram, pois ao dividirmos,  por exemplo, 2 por 5 não chegaríamos a uma resposta inteira, então sugiram os números que podem ser escritos em forma de fração, que são representados pela letra Q maiúscula, esses números são os números racionais:

Q = { ... , -5; ...; - 4,2; ... ; - 2; ... ; -1;...; 0; ...; 3,56; ...; 4; ... }

Podemos dizer que o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros e racionais, que o conjunto dos inteiros está contido dentro do conjunto dos racionais, veja essa relação em forma no diagrama abaixo: 

Ao resolvermos a raiz de alguns números como por exemplo o número √2,  percebemos que as soluções encontradas eram números decimais infinitos e que não obedeciam a uma sequência, portanto, esses números pertencem a um conjunto chamado irracionais, representados pela letra I maiúscula.

Esse conjunto I fica à parte, ele e nenhum dos outros conjuntos citados acima está contido no conjunto dos irracionais.

A união dos conjuntos racionais com os irracionais formam  o conjunto dos números reais, representado pela letra R maiúscula, veja o diagrama ao lado.

Alguns cálculos ainda assim não se encaixavam nos conjuntos até aqui estudados, então foi preciso que criassem mais um conjunto numérico, esse seria um pouco diferente dos outros, pois iria conter em sua estrutura a letra i. Sua representação é feita pela letra maiúscula C.

Esse conjunto é chamado de conjunto dos números complexos, que é usado pra resolver raízes com índices pares e radicando negativo, pois no conjunto dos reais essa operação não teria solução.  Exemplo:  √-2, √-4, etc.

Podemos concluir que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos.

Operações com os Números Complexos!!

Como em qualquer conjunto numérico, no conjunto dos números complexos existe uma maneira específica de aplicar as operações (adição, subtração, multiplicação e divisão).

Antes de aplicarmos as operações, devemos saber que um número complexo qualquer é indicado na maioria das vezes pela letra z e a sua forma geométrica é: z = a + bi, onde “a” é a parte real e “b” é a parte imaginária.

Ainda, i= raiz quadrada de -1 ou i= √-1

Adição e subtração 

Na Adição:

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

Soma-se separadamente a parte real e a parte imaginária sempre.

z1 + z2 = (2 – i) + (-3 + 7i)

z1 + z2 = 2- i – 3 + 7i

z1 + z2 = 2 – 3 – i + 7i

z1 + z2 = - 1 + 6i

Na subtração:

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Subtraindo Z1-Z2, teremos:

z1 - z2 = (2 – i) - (-3 + 7i)

z1 - z2 = 2- i + 3 - 7i

z1 - z2 = 2 + 3 – i - 7i

z1 - z2 = 5 - 8i

Atenção: Concluimos que para subtrair ou adicionar números complexos, devemos operar parte real com parte real e  a parte imaginária com parte imaginária.

FORMA GERAL

De uma maneira geral podemos representar a adição e a subtração com números complexos da seguinte forma.

z = a + bi, onde a e b são números reais e "i" é a unidade imaginária que vale √-1.

Então:

Dados dos números complexos qualquer z1 = a + bi e z2 = c + di, veja a adição e subtração entre eles.

NA ADIÇÃO

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)

z1 + z2 = a + bi + c + di

z1 + z2 = a + c + bi + di

Portanto, a adição de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma:

z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

NA SUBTRAÇÃO

z1 - z2 = (a + bi) - (c + di)

z1 - z2 = a + bi - c - di

z1 - z2 = a - c + bi - di 

Portanto, a subtração de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma:

z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i 

Multiplicação entre Números Complexos!!

Os números complexos são multiplicados com base na propriedade distributiva, sempre lembrando que um numeral complexo é formado por uma parte real(Re) e uma parte imaginária(Im).

Veja:

4 + 3i → Re(z) = 4 e Im(z) = 3

2 – 5i → Re(z) = 2 e Im(z) = –5

4 + 3i → Re(z) = 4 e Im(z) = 3

12 – 9i →Re(z) = 12 e Im(z) = –9

Multiplicando os complexos

Exemplos

a) (2 + 5i) * (1 – 2i)

=2 – 4i + 5i – 10i² (lembrando que i² = – 1)

=2 – 4i + 5i – 10 *(–1)

=2 – 4i + 5i + 10

=12 + i

b) (4 + 3i) * (2 + 6i)

=8 + 24i + 6i + 18i² (lembrando que i² = – 1)

=8 + 24i + 6i + 18 * (–1)

=8 + 24i + 6i – 18

= –10 + 30i 

c) (6 – 3i) * (–3 + 7i)

= –18 + 42i + 9i – 21i² (lembrando que i² = – 1)

= –18 + 42i + 9i – 21 * (–1)

= –18 + 42i + 9i + 21

=3 + 51i

d) (10 + 10i) * (10 – 10i)

=100 – 100i + 100i – 100i² (lembrando que i² = – 1)

=100 – 100i + 100i – 100 * (–1)

=100 + 100 + 0i

=200 + 0i

=200

e) 4 + 3i + (1 – 2i) * (3 + i)

=4 + 3i + (3 + i – 6i – 2i²)

=4 + 3i + 3 + i – 6i – 2i² (lembrando que i² = – 1)

=4 + 3i + 3 + i – 6i – 2 * (–1)

=4 + 3i + 3 + i – 6i + 2

=9 – 2i 

f) (2 – 3i) * (1 – 5i) – 4i – 8

=2 – 10i – 3i + 15i² – 4i – 8 (lembrando que i² = – 1)

=2 – 10i – 3i + 15 * (–1) – 4i – 8

=2 – 10i – 3i – 15 – 4i – 8

=2 – 15 – 8 – 10i – 3i – 4i

= –21 – 17i

g) (–12 – 5i) * (5 + 5i) – 4i + 7

= –60 – 60i – 25i – 25i² – 4i + 7 (lembrando que i² = – 1)

= –60 – 60i – 25i – 25 * (–1) – 4i + 7

= –60 – 60i – 25i + 25 – 4i + 7

= –60 + 25 + 7 – 60i – 25i – 4i

= –60 + 32 – 89i

= –28 + 89i

h) (4 + 3i) * (2 – 5i) + (4 – 3i) * (2 + 5i)

=8 – 20i + 6i – 15i² + (8 + 20i – 6i - 15i²)

=8 – 20i + 6i – 15i² + 8 + 20i – 6i - 15i²

=8 + 8 – 20i + 20i + 6i – 6i – 15i² - 15i²
= 16 +15 +15

=46

i) (3 + 30i) * (2 – 3i) + 4 – 5i

=6 – 9i + 60i – 90i² + 4 – 5i (lembrando que i² = – 1)

=6 – 9i + 60i – 90 * (–1) + 4 – 5i

=6 – 9i + 60i + 90 + 4 – 5i

=6 + 90 + 4 – 9i + 60i – 5i

=100 + 46i

Divisão de Números Complexos!!

Dividir dois números complexos é obter o número complexo z3, que é o resultado da razão entre z1 e z2.

 Para realizar essa divisão:

 Fazemos uma operação de multiplicação, multiplicando-se o numerador e o denominador pelo seu conjugado (o conjugado de um número é o mesmo número com o sinal do b trocado), como serão demonstradas através dos exemplos a seguir: 

Exemplo 1

Determinar o número complexo, resultado da divisão dos números complexos abaixo:

 . Lembrando que i² = –1.

Exemplo 2

Calcule o número complexo relativo à divisão entre 1+3i por 1-i:

Exemplo 3

Vamos determinar a divisão entre os números complexos abaixo:

Potências de “i”

Considere o seguinte problema:

Determine o valor de i elevado a n, onde n é número natural.

i^n=?

se:

n=0  à i=1

n=1 à  i=i

n=2  à i=-1

n=3  à i=-i

n=4  à i=1

n= 5 à i=i

n=6 à i=-1

n=7 à i=-i

n=8 à i=1

............... etc ......

Observa-se que as 4 potências sucessivas de i se repetem periodicamente de acordo com a sequência 1, i, -1, -i.

Daí, demonstra-se que:

Exercícios para fixar o conteúdo:

01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale:

a) 1 + 11i

b) 1 + 31i

c) 29 + 11i

d) 29 - 11i

e) 29 + 31i

Solução: 15-10i+21i-14i²= 15+11i+14 = 29+11i (resposta c)

02. Se f(z) = z² - z + 1, então f(1 - i) é igual a:

a) i

b) -i + 1

c) i - 1

d) i + 1

e) –i

Solução: f(1-i)= (1-i)²-(1-i)+1 = 1-2i+i² -1+i+1 = 1-i-1 = -i   (resposta e)

03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i² = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + i)⁴ é um número real?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) infinitos

Solução:  (a+i)^4=1 -à a+i=1 à a=1 (resposta a)

04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i¹⁰ + i^-100 é:

a) zero

b) i

c) -i

d) 1

e) -1

Solução: i¹⁰= i² =-1 e i^-100=1/ i¹⁰⁰=1/ i⁰=1

Então: i¹⁰ + i^-100=-1+1 = 0 (resposta a)

Pesquise mais e faça outros exercícios.

Bons Estudos