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sábado, 15 de março de 2014

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Observe que o triângulo ao lado é retângulo, pois possui um ângulo reto (mede 90º) e dois ângulos agudos.

Ainda, temos dois catetos e uma hipotenusa que é o lado oposto ao ângulo reto.

Se você não estudou ainda o triângulo retângulo, ou não se lembra de suas propriedades; pedimos que faça uma  revisão do assunto.

Mas, vamos aqui observar como podemos deduzir as principais relações no triângulo retângulo que são: o seno, o cosseno e a tangente.

Observe bem a figura abaixo, veja que nela estão contidos três triângulos retângulos:









Sabemos que os três triângulos  retângulos: ABC, ADE e AFG são semelhantes, pois eles têm os 3 ângulos iguais.  Então, podemos dizer que os seus lados correspondentes são proporcionais, ou seja:

BC/AC = DE/AE = FG/AG

SENO DE UM ÂNGULO AGUDO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

O valor numérico dessas razões chama-se SENO  do ângulo A (sen Â).

 sen  = BC/AC  ou sen  = DE/AE  ou sen  = FG/AG


















Nota 1: Seno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão da medida do cateto oposto ao ângulo citado pela hipotenusa.


COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO







Podemos escrever ainda que:

 AB/AC = AD/AE = AF/AG

O valor numérico dessas razões chamamos de COSSENO  do ângulo A ( cos Â).

 cos  = AB/AC    ou   cos  = AD/AE    ou   cos  = AF/AG

















Nota 2: Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão da medida do cateto adjacente ao ângulo citado pela hipotenusa


TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO

Temos ainda que:

 BC/AB = DE/AD = FG/AF
Ao valor numérico dessas razões chamamos de TANGENTE do ângulo A (tg Â).

Então:
 tg  = BC/AB   ou   tg  = DE/AD   ou   tg  = FG/AF

















Nota 3: Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão da medida do cateto oposto  ao ângulo citado pelo cateto adjacente a esse ângulo.


EXEMPLO:

No triângulo retângulo ABC determine o seno, cosseno e a tangente do ângulo A:


















Segue: Tabela de Razões Trigonométricas de Alguns Ângulos Agudos, para o seu conhecimento e uso na resolução de problemas que envolve o assunto:

TABELA TRIGONOMÉTRICA
Ângulo
sen
cos
tg
0
0
1
0
1
0,017452
0,999848
0,017455
2
0,034899
0,999391
0,034921
3
0,052336
0,99863
0,052408
4
0,069756
0,997564
0,069927
5
0,087156
0,996195
0,087489
6
0,104528
0,994522
0,105104
7
0,121869
0,992546
0,122785
8
0,139173
0,990268
0,140541
9
0,156434
0,987688
0,158384
10
0,173648
0,984808
0,176327
11
0,190809
0,981627
0,19438
12
0,207912
0,978148
0,212557
13
0,224951
0,97437
0,230868
14
0,241922
0,970296
0,249328
15
0,258819
0,965926
0,267949
16
0,275637
0,961262
0,286745
17
0,292372
0,956305
0,305731
18
0,309017
0,951057
0,32492
19
0,325568
0,945519
0,344328
20
0,34202
0,939693
0,36397
21
0,358368
0,93358
0,383864
22
0,374607
0,927184
0,404026
23
0,390731
0,920505
0,424475
24
0,406737
0,913545
0,445229
25
0,422618
0,906308
0,466308
26
0,438371
0,898794
0,487733
27
0,45399
0,891007
0,509525
28
0,469472
0,882948
0,531709
29
0,48481
0,87462
0,554309
30
0,5
0,866025
0,57735
31
0,515038
0,857167
0,600861
32
0,529919
0,848048
0,624869
33
0,544639
0,838671
0,649408
34
0,559193
0,829038
0,674509
35
0,573576
0,819152
0,700208
36
0,587785
0,809017
0,726543
37
0,601815
0,798636
0,753554
38
0,615661
0,788011
0,781286
39
0,62932
0,777146
0,809784
40
0,642788
0,766044
0,8391
41
0,656059
0,75471
0,869287
42
0,669131
0,743145
0,900404
43
0,681998
0,731354
0,932515
44
0,694658
0,71934
0,965689
45
0,707107
0,707107
1
46
0,71934
0,694658
1,03553
47
0,731354
0,681998
1,072369
48
0,743145
0,669131
1,110613
49
0,75471
0,656059
1,150368
50
0,766044
0,642788
1,191754
51
0,777146
0,62932
1,234897
52
0,788011
0,615661
1,279942
53
0,798636
0,601815
1,327045
54
0,809017
0,587785
1,376382
55
0,819152
0,573576
1,428148
56
0,829038
0,559193
1,482561
57
0,838671
0,544639
1,539865
58
0,848048
0,529919
1,600335
59
0,857167
0,515038
1,664279
60
0,866025
0,5
1,732051
61
0,87462
0,48481
1,804048
62
0,882948
0,469472
1,880726
63
0,891007
0,45399
1,962611
64
0,898794
0,438371
2,050304
65
0,906308
0,422618
2,144507
66
0,913545
0,406737
2,246037
67
0,920505
0,390731
2,355852
68
0,927184
0,374607
2,475087
69
0,93358
0,358368
2,605089
70
0,939693
0,34202
2,747477
71
0,945519
0,325568
2,904211
72
0,951057
0,309017
3,077684
73
0,956305
0,292372
3,270853
74
0,961262
0,275637
3,487414
75
0,965926
0,258819
3,732051
76
0,970296
0,241922
4,010781
77
0,97437
0,224951
4,331476
78
0,978148
0,207912
4,70463
79
0,981627
0,190809
5,144554
80
0,984808
0,173648
5,671282
81
0,987688
0,156434
6,313752
82
0,990268
0,139173
7,11537
83
0,992546
0,121869
8,144346
84
0,994522
0,104528
9,514364
85
0,996195
0,087156
11,43005
86
0,997564
0,069756
14,30067
87
0,99863
0,052336
19,08114
88
0,999391
0,034899
28,63625
89
0,999848
0,017452
57,28996
90
1
0
-


Exercícios com a resposta no final do post: O Número Pi

1) No triângulo retângulo ABC, determine:

a) sen Â

b) cos Â

c) tg  

d) sen C

e) cos C

                                                                                    f) tg C

.........................................................................................................................................................
2) Dado o triângulo EFG, determine:

a) sen Ê

b) cos Ê

c) tg Ê

d) sen G

e) cos G

                                                                                    f) tg G
.........................................................................................................................................................
3) Sabendo-se que cos 40º vale 0,766, ache o valor de x no triângulo retângulo abaixo:





.........................................................................................................................................................
4) Com o auxílio da tabela, calcule o valor de x nos triângulos retângulos abaixo:

















.........................................................................................................................................................
Faça mais exercícios.
Pesquise mais sobre este assunto.












6 comentários:

  1. Gostei, assunto muito bem abordado. ...

    ResponderExcluir
  2. Obrigado caro leitor.
    Temos outros conteúdos sobre Geometria. Confira!

    ResponderExcluir
  3. quero as respostaa dos ultimos exercicios

    ResponderExcluir
  4. quero as respostaa dos ultimos exercicios

    ResponderExcluir
    Respostas
    1. Boa tarde!
      Em primeiro lugar agradecemos muitíssimo a sua visita ao nosso espaço!
      Quanto as respostas, elas encontram-se ao final do post O Número Pi, mas para acessar se preferir clique em http://recordandomatematica.blogspot.com.br/2014/03/o-numero-pi.html. Qualquer dúvida, estamos a disposição. Obrigado!

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