Limites
INICIAÇÃO A LIMITES
O desenvolvimento do cálculo foi estimulado por dois problemas geométricos:
Achar as áreas de regiões planas;
Descobrir as retas tangentes à curva.
Achar as áreas de regiões planas;
Descobrir as retas tangentes à curva.
Esses problemas requerem um “processo de limite” para a sua solução.
Entretanto, o processo de limites ocorre em muitas outras aplicações, sendo o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do cálculo estão baseados.
Para iniciarmos o estudo de limites, analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:
Na sucessão (1), os termos tornam−se cada vez maiores sem atingir um limite e sempre tem um número maior que o anterior.
Dado um número real, por maior que seja, podemos sempre encontrar na sucessão um termo maior. Dizemos então que os termos desta sucessão tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito.
Denota−se x →¥
Na sucessão (2) os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números se aproximam cada vez mais de 1, sem nunca atingirem este valor.
Dizemos então que x → 1.
De maneira análoga na sucessão (3), os termos vão ficando cada vez menores, então denotamos que x →-¥
Em (4), os termos da sucessão oscilam sem tender para um limite.
Em (5), os termos diminuem e dizemos que x →0.
Limite de uma função
O uso básico de limites é para descrever como uma função se comporta quando a variável independente x tende a um dado valor.
Por exemplo:
Verifiquemos o comportamento da função f(x) = 2x + 4 próximo ao ponto x = 1:
Aproximação pelo lado direito de x = 1 (ou x → 1+)
para x=2 →f(x)=2.2+4 →f(x)=8
para x=1,5→f(x)= 2.1,5+4 →f(x)=3+4=7
para x=1 → f(x) = 2x+4 →f(x)= 2.1+4 =2+4=6
... logo quando x se aproxima de 1+, f(x)→6
Aproximação pelo lado esquerdo de x = 1 (ou x → 1− )
para x=-2 →f(x)=2.-2+4 →f(x)=0
para x=0,5→f(x)=2.0,5+4 →f(x)=1+4=5
para x=1 → f(x) = 2x+4 →f(x)= 2.1+4 =2+4=6
Exercícios: (considere 00 = infinito)
Determine o limite das seguintes funções:
1) f(x) = 4x, quando x → 2
=lim4x, quando x→2 = 4.2 =8
2) lim (x²-6x+9) / (x-3), quando x → 3
=lim (x-3)(x-3) / (x-3) = lim x-3 = 3-3 =0 (observação: x-3/x-3 = 1)
x→3 x→3
3) lim x³+7 = x³+7 (observe que a variável é y)
y→+00
4) lim x²-x, quando x→+00
lim x²-x, quando x→+00 = 00-00 (indefinição-não serve como resposta)
ou lim x²(1-1/x) = 00²(1-0)=+00
x→00
(observe que 1/00 = 0 e 00²=+00)
5) lim 7A^9+2 / A^8+1 = 00/00 (indefinição-não serve como resposta)
A→-00
=lim A^9(7+2 / A^9) / A^8(1+1/A^8), quando A →-00 = 7A/1 =7A = 7(-00) =-00
(observe que 2/A^9=0, 1/A^8=0)
6) lim 5x / (7x³+3)^1/3, quando x→-00
= lim x.5 / (x³.(7+3/x³))^1/3, quando x→-00
=lim x.5 / x.(7+3/x³)^1/3, quando x→-00
=5/7^1/3
Atenção:
a) Existem certos tipos de limites que podem ser resolvidos facilmente, usando uma das mais famosas regras do cálculo, chamada como: Regra de L'Hospital que recomendamos que acesse e confira.
b) Para acessar nosso conteúdo não menos importante, chamado: Limites e Continuidade: clique aqui
c) Caso queira estudar e se inteirar do tema: DERIVADAS clique aqui
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Que legal, assunto tratado de uma forma de fácil entendimento. Vou divulgar na faculdade.
ResponderExcluirObrigado caro leitor(a), aproveite e divulgue que este espaço é de todos.
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