Progressão Geométrica (P.G.)

Progressão Geométrica ou simplesmente PG 

Definição: É uma sequência de números reais, onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante chamada de razão da PG.

Exemplos:

a) (1, 2, 4, 8, ...)

Note que o primeiro termo ou a1 = 1 e os demais são obtidos multiplicando o anterior pela razão 2.

b) (2, 6, 18, 54, ...)

a1 = 2, a2 =2.3=6, a3 = 6.3=18 e assim sucessivamente.  A razão vale 3.

c) (54, 18, 6, 2, ...)

a1 =54, a2 = 54/3=18, a3 = 18/3 =6, ... A razão é 1/3

Importante: A razão "q" de uma P.G. é obtida, dividindo um termo qualquer a partir do segundo pelo seu termo anterior.

d) (3, 12, 48, ... )  

razão q = 12/3 = 4 ou q = 48/12 = 4

e) (2, -8, 32, -128, ...)

razão q= -8/2 = -4 ou 32/-8 = -4, ...

Exercícios:

1) Determine os 4 primeiros termos de uma P.G. de razão 4 e que tem o primeiro termo igual a 2.

PG = (2, 2x4, 2x4x4, 2x4x4x4, 2x4x4x4x4) = (2, 8, 32, 128)

2) Calcule os 5 primeiros termos da PG sendo dados: a1= -5 e q=-2.

PG = (-5, -5.-2, -5.-2.-2, -5.-2.-2.-2, -5.-2.-2.-2.-2)=

PG= (-5, 10, -20, 40, -80)

3) Determine a razão das seguintes PGs:

a) (3, 9, 27, 81)

q= 9/3=3 ou q=27/9=3 ou q=81/27=3, logo q=3

b) (2, -6, 18, -54, ...)

q= -6/2 = -3 ou q=18/-6 = -3, ou q=-54/18 = -3, logo q=-3

c) (-1, 5, -25, 125, -625)

q= 5/-1 =-5 ou q= -25/5 =-5, ..., logo q=-5

Fórmula do termo geral da P.G.

Pela definição de PG, temos:

a2= a1.q

a3= a2.q = a1.q.q = a1.q²

a4 = a3.q = a1.q².q = a1.q³

...

e, de um modo genérico: an = a1.q^n-1, onde n é o número de termos da PG.

Exemplos:

1) Calcule o sexto termo da PG (3, 6, 12, ...)

Aplicando-se a fórmula acima: a6 = a1.q^(6-1) →a6= a1.q^5

q= 6/3=2

a1=3

Logo: a6 = 3.2^5 → a6 = 3.32 =96 → a6= 96

2) Determine o primeiro termo da PG em que a6=160 e q=2.

Apliquemos a fórmula acima, então: a6= a1.2^5 →160 =a1.32 →a1=160/32 →a1=5

3) Numa PG temos que: a5 = 64 e a1 = 4, determine a razão e escreva a PG.

Usando a fórmula, temos: a5 = a1.q^4 → 64= 4.q^4 →q^4= 64/4 →q^4=16 →q^4 = 2^4 →q=±2

para q= 2 → PG = (4, 8, 16, 32, 64, ...)

para q= -2 →PG = (4, -8, 16, -32, 64, ...)

4) Calcule o sétimo termo da PG (5, 10, 20, ...)

Usando que a7= a1.q^6 →a7= 5.2^6 →a7 = 5.64 →a7= 320

5) Numa PG, dados a1=2, q=5 e an=1250, calcule n?

Sabendo-se que: an= a1.q^n-1

1250 = 2.5^n-1 →1250/2 = 5^n-1

→ 625 = 5^n-1 →5^4 = 5^n-1 →n-1 =4 →n= 4+1 → n=5