Valor Absoluto: Saiba como Demonstrar!

Demonstração de Valor Absoluto:

O valor absoluto de um número r, indicado pelo símbolo │r│, é definido como sendo r se r>=0, e como -r se r<0.

Então, │5│= 5, │0│=0, │-4│= -(-4) = 4

Logo, fica fácil provar que o valor absoluto de um número é o mesmo que o de seu oposto, isto é, │r│= │-r│.

Para isto, basta verificar esta igualdade nos casos em que r>0 e r<0, já que no caso de r ser zero, ela é imediata.

i) Se r>0, │r│=r; e como -r<0, então, pela definição de valor absoluto, temos que │-r│=-(-r) = r, logo │r│= │-r│, que é o resultado esperado.

ii) Se r<0, │r│=-r; e como -r>0, │-r│=-r, novamente temos: │r│ =│-r│, completando a demonstração.

Exemplos da igualdade │r│=│-r│:

Usando r= 2, │2│=│-2│= 2

Com r=-3, │-3│=│-(-3)│= │3│ = 3

Observação: Devemos ter o cuidado de não incorrermos no erro de escrevermos: │-r│ = r, que ocorre frequentemente, pois isto só é verdade quando temos r>=0, mas não quando r<0. 

Vejam o exemplo, usando r=-7, temos que:

│-(-7)│=-7, ou │7│=-7 que é falso.

Uso do valor absoluto para exprimir distâncias! 

Uma das aplicações mais importantes do valor absoluto é no cálculo de distâncias entre dois pontos A e B de um eixo.  Em geral a distância entre os pontos a e b é │b - a│, sendo que não faz diferença escrevemos │b - a│ou 

│a - b│, pois: │a - b│= │-(b - a)│= │b - a│

Exemplos: 

a)│6 - 2│= │4│= 4

b) │(-3) - (-6)│= │3│= 3

c) │2 - (-3)│= │2 + 3│=│5│= 5

Exercícios Propostos:

1) Resolver a equação: │5x - 7│= 13.

2) Resolver a equação: │2x - 1│= │3 - 4x│

3) Resolver esta equação: │x - 5│= 1 - 2x 

4) Encontre a solução para: │2x - 6│ = 6 - 2x

Atenção: 
Para ver a solução detalhada das questões propostas acima, Clique Aqui!
(Observe que as respostas encontram-se ao final do post)





Conclusão:

Se considerarmos como x, o valor de uma certa distância entre dois pontos quaisquer, então podemos considerar que │x│vale o valor de tal medida, e podemos observar que, se x for um número positivo, seu módulo é igual a ele mesmo mas, se x for um número negativo, como a distância não pode ser negativa, logo devemos mudar o sinal desse número, ou considerar o seu oposto (o mesmo número com o sinal trocado).
Somente por curiosidade, ressaltamos a você não confundir o valor absoluto tratado aqui em termos da matemática com o termo usado na Filosofia, pois este não é aquele que se aborda na filosofia da Ética, sendo que eles divergem e muito, pois enquanto um trata do comportamento e das propriedades de certas equações, o outro é um tema de debate no sentido filosófico, se um valor pode ser tido como absoluto ou se é sempre um valor relativo, independente dos pontos individuais e culturais de vista de qualquer pessoa, além de ser independente do fato de ter sido aprendido ou não.

Mas, voltando ao universo das ciências exatas, trata-se de um conteúdo importante de álgebra abstrata que tem algumas propriedades em comum com a função modular.

Atenção:

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