Equação Modular

Equação modular é uma equação algébrica em que a incógnita aparece nos módulos ou seja ela deve ser satisfeita por módulos. Ela é muito usada para resolver problemas de cálculos com distâncias, etc. Uma característica predominante numa equação modular é que ela usa entre uma identidade de módulos. Mas, o que vem a ser identidade?

Uma identidade, por exemplo, de duas equações A e B, onde A = B, nos diz que, A e B definem as mesmas funções e obedecem certas condições impostas. Isto significa que uma identidade é uma igualdade entre as funções que são definidos de forma diferente. Geometricamente, vemos na figura ao lado, o gráfico em azul do comportamento da função modular f(x) = |x|. Já, os espaços modulares são espaços de soluções de problemas de classificação geométricas. Isto é, os pontos de um espaço de módulos correspondem a soluções de certos problemas geométricos.

Quando pensamos em um espaço ou em uma distância entre dois pontos, sendo que um deles é considerado como de origem, podemos afirmar que o valor absoluto ou módulo de um número estão associados à sua distância do ponto de origem, observe a representação a seguir: 

Observamos que a distância ou o espaço entre os números de 0 até -5 é a mesma que vai de o ao 5. Dessa forma, dizemos que o valor absoluto dos números – 5 e + 5, indicados por |– 5| e |+ 5|, e será de 5 unidades. Nota: Na distância não se aplica valores negativos, pois ela é sempre nula ou positiva.

Genericamente, dizemos que o módulo ou valor absoluto de um número real "n" pode ser indicado pelo próprio n, quando n for positivo ou nulo, e o simétrico de n, se n for negativo. Então, escrevemos isso da seguinte forma: 

Resolução de Alguns Exemplos:

a) |+5| = 5 e |–5| = –(–5) = 5 
b) |11| = 11 e |–11| = –(–11) = 11 

c) |n – 4| = n – 4, se n – 4 ≥ 0, ou simplificando, quando n ≥ 4 
ou |n – 4| = – (n – 4), se n – 4 < 0, ou seja, quando n < 4 

Exemplos de equações modulares: 

Equações modulares são assim chamadas porque a incógnita aparece nos módulos destas expressões. 

|x| = 8 

|x + 7| = x + 7 

|x – 3| + 4x = 7 

|x + 6| = 4

|x + 1| = |x – 3| 
Notemos que no último exemplo, temos módulos em ambos membros da equação.

Exercícios: Resolva as seguintes equações:
 

a) |2 - 3.5|= x

|2 - 15|= |-13| = -(-13) = 13 → x = 13

b) |3 - 6 +7 -8 -10|= y

|10 - 24| = |-14| = -(-14) = 14 → y = 14

c) |-3x - 5| = 7 

Condições: 
-3x - 5 = 7 ou -3x - 5 = – 7 
Solução: 
-3x - 5 = 7 → -3x = 7 + 5 → x = -12/3 = -4, ou: -3x - 5 = – 7 → -3x = -7 +5 = -2 → x = 2/3

S = {–4; 2/3} 

d) |x – 2| = -4 

Condições: 
x –2 = -4, se x - 2 >=0 ou x>=2
x = -4+2 → x = -2 (falso)
ou
x – 2 = -(-4) = 4 se x - 2 <0 ou x<2 
x = 4+2 = 6 (falso)
Portanto, S = {} ou vazio.

e) |x + 1| = |x – 3| 

x + 1 = x – 3 → x – x = – 3 – 1 → 0x = – 4 (impossível) 
x + 1 = – (x – 3) → x + 1 = – x +3 → x + x = 3 – 1 → 2x = 2 → x = 1 

Solução: {1} 
f) |x² – 5x + 6| = 2 

x² – 5x + 6 = 2 → x² – 5x + 6 – 2 = 0 → x² – 5x + 4 = 0 (Bháskara: possui duas raízes reais) 
x’ = 1 e x” = 4 

x² – 5x + 6 = – 2 → x² – 5x + 6 + 2 = 0 → x² – 5x + 8 = 0 (Bháskara: não possui raízes reais) 
Solução: {1,4} 

Nota: Se tiver dificuldade para a resolução das equações quadráticas ou do Segundo Grau, inclusive a teoria e mais de 30 exercícios grátis, fazendo o uso da fórmula de Bháskara, sugerimos acessar nossa matéria chamada: Equação do Segundo Grau

g) |x + 2| = 2x - 8

Como |x + 2|>=0, a equação só é possível somente para 2x - 8 >= 0, ou seja: para x >= 4
Logo:  
|x + 2| = 2x - 8 → x +2 = 2x -8 → x-2x = -8-2 =-10 → -x = -10 → x = 10 ou 
x+2 = -2x + 8 → 3x = 6 → x = 6/3 = 2
Logo, x = 10 é a solução, pois satisfaz a condição que diz x>=4. Enquanto que x= 2 não é solução válida pois não satisfaz a condição citada.
Portanto S = {10}

h) |x - 4|=|2x - 3|

Condições: i) x - 4 = 2x - 3 ou ii) x - 4 = -(2x - 3)
Resolvendo i) x - 4 = 2x - 3 → x - 2x = 4 - 3 → -x = 1 (-1) → x = -1
ii) x - 4 = -(2x - 3) → x-4 = -2x + 3 → x + 2x = 3 + 4 → 3x = 7 → x = 7/3
Portanto S = {-1, 7/3}

CONCLUSÃO:

Espero que tenham gostado do conteúdo e que ele agregue conhecimentos, mas se quiser saber mais sobre o tema, sugerimos acessar nosso post chamado: Valor Absoluto - Saiba como Demonstrar!

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