Estudo dos Conjuntos Numéricos

Definição de Conjunto: Conjunto é o agrupamento de elementos que possuem características semelhantes. 

Veja os tipos de conjuntos que conhecemos:

Existe uma infinidade de tipos de conjuntos: Vazio, Finitos, Infinitos, Reais, Irracionais, Inteiros, etc...

Os conjuntos podem ser compostos por números, pessoas, letras, objetos, ou outros elementos diversificados, etc.

Os conjuntos numéricos de uma forma especifica são compostos por números.

Exemplos:

1)  Conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.

Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se: forma de listagem.

O mesmo conjunto também pode ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou seja, considerando x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }

2) Conjunto dos números ímpares positivos: I = {1,3,5,7,9, ... }

Essa nova listagem (conjunto) também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto I acima, poderíamos escrever: I = { x | x é impar e positivo } = { 1,3,5, ... }

Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto numérico A, escrevemos x E A , onde o símbolo E significa "pertence a". Considerando y um elemento que não pertence ao conjunto A, indicamos esse fato com a notação y nE A, onde nE significa não pertence.

Nota: O conjunto que não possui elementos é denominado conjunto vazio. Acompanhando o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U.

Assim é que, pode-se escrever U = {x; x = x}.

Subconjuntos!

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A c B, onde c= esta contido.

Notas:

a) Todo conjunto numérico é subconjunto de si próprio. ( A  c  A ).

b) O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

c) O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). 

d) Um subconjunto de A é também denominado parte de A.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

Conjunto dos números naturais
Os números naturais, como o próprio nome diz surgiram naturalmente nas civilizações antigas, em consequência da necessidade do homem contar seus pertences e de relacionar objetos a quantidades, os elementos que pertencem a esse conjunto são: 

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. O número 0 (zero) surgiu posteriormente, com a finalidade de expressar algo nulo no preenchimento posicional.

Conjunto dos números inteiros

Como a contagem era feita usando os naturais e no comércio, aqueles povos realizavam trocas e tinham que contabilizar as dívidas e prejuízos, os matemáticos da época, para resolver esta situação, criaram o conjunto dos números inteiros, que foi simbolizado pela letra Z. Por exemplo: 30 - 40 = -10 (dívida), Troca de dois bois no valor geral de 1.000,00 por três carneiros no total de 800,00, então: 1.000 - 800 = 200,00 (lucro).  

Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Observação: é evidente que N  c  Z.

Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p E Z , q E Z e q ≠0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero.

Lembre-se que não existe divisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.

Observações

a) Fica evidente que N c Z c  Q.

b) Toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração.Exemplo: 0,4444... = 4/9.
c) Nem todos números decimais podem ser escritos na forma de fração, dessa forma não pertencem ao conjunto dos racionais. Então, eles formaram outro conjunto que foi chamado de conjunto dos números irracionais. Este conjunto possui números importantes para a Matemática, como o número pi (~3,141) e o número de ouro (~1,618), entre outros.

Conjunto dos números irracionais

I = {x; x é uma dízima não periódica}.

Exemplos de alguns números irracionais muito conhecidos: 
a) 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro), 
b) 2,01001000100001... (dízima não periódica), 
c) raiz quadrada de 3   = 1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais

Da união dos conjuntos dos números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracionais, ou seja resumidamente ele engloba os racionais e irracionais, surgiu um conjunto maior que foi chamado de: conjunto dos números Reais e abreviadamente R e que também pode ser escrito assim:

R = { x; x é racional ou x é irracional}.

Notas:

a) É óbvio que N c Z c  Q c  R

b) I c R

c) Um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

Conjunto dos números complexos

Com o desenvolvimento da Matemática, surgiu o teorema de Pitágoras para resolver uma equação do segundo grau, mas  quando nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo, era impossível a resolução dentro do conjunto dos números Reais, pois não existe a raiz quadrada de número negativo, ou seja tínhamos agora, casos de números que elevado ao quadrado apresentava como resultado número negativo. A resolução destas raízes somente se deu com a criação e adequação dos números complexos, pelo matemático Leonhard Euler. Os números Complexos foram representados pela letra C e mais conhecidos como o número usando da letra i, sendo designada nesse conjunto a seguinte fundamentação: i² = -1. Esses estudos possibilitaram usar o termo i² = -1, e que também conhecido como número imaginário, sendo possível extrair a raiz quadrada de números negativos. Se quiser saber mais sobre este conjunto, inclusive a teoria e a resolução de muitos exercícios, acesse nosso post chamado Números Complexos.  

Exercícios para testar seus conhecimentos

Preencha os parênteses colocando: N no caso de conjuntos dos números naturais, Z no caso de Inteiros, Q para racionais e I para irracionais:

a) 1/2 (.....)                    b) -5 (.....)                  c) Raiz quadrada de 2 (......)            d) Número pi (......)           

e) 5,1010109 (......)    f) 2 elevado ao expoente 4

2) Qual é a fração que corresponde ao número 0,33333...

Respostas:

1) a) Q b) Z c) I d) I e) Q f) Z
2) 1/3

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